Transformation 变换

2D 变换

线性变换 ——使用矩阵

仿射变换 Affine Transformation

缩放变换Scale （not uniform/uniform）

缩放某一比例，可以写成矩阵形式

反射Reflection Matrix

斜切 Shear Matrix

旋转 Rotate Matrix

默认绕原点逆时针旋转

齐次坐标

增加一个维度，解决了平移用矩阵表示的问题

而且满足：

vector + vector = vector

vector - vector = vector

point - point = vector

point + point = 两个点的中点

总结

3D 变换

先仿射变换，再平移！（先平移的话旋转中心点会改变）

旋转 ——绕某轴旋转

例：绕x轴旋转，x坐标不变

注意：$R_{y}(\alpha)$不一样（原因：y是x与z的叉乘的反方向，$\alpha$取负值）

Rodrigue’s Rotation Formula

旋转轴n和旋转角$\alpha$，（如果该轴不在原点，先平移至原点，旋转完再平移回去）

$$R(n,\alpha) = \cos_(\alpha)I+(1-\cos_(\alpha))nn^{T}+\sin_{\alpha}\left(

\begin{matrix}

0&-n_{z}&n_{y}\

n_{z}&0&-n_{x}\

-n_{y}&n_{x}&0\

\end{matrix}

\right)

旋转矩阵的特殊性质：

转置矩阵==逆矩阵

（旋转负角度）

View transformation (placing camera)

Define the camera 对相机定义

Position $\hat{e}$
Look-at/gaze direction $\hat{g}$
Up direction $\hat{t}$

相机的标准位置

——将相机一直变换至原点，Up at Y,look at -Z,让物体跟随相机变换

如何变换？

先平移至原点
旋转角度
（对其他物体进行相同操作）

Projection Transformation👇

两种投影：视角投影vs正交投影

Orthographic Projection 正交投影

简单的理解：

将z轴消除，将xy坐标成比例放入[-1,1]

实际上：

先平移后缩放，（注意观测方向为-Z，z轴上坐标变换略不同（n大f小，为n-f））

Perspective Projection 透视投影

1.用任意点变换n倍（n未知）时，满足：从而推出变换矩阵$M_{persp \to ortho}$的值

2.再利用near面/far面上点的深度z不变。计算出M矩阵第三行参数

应为：（0,0,n+f,-nf）

3.最后，有：$$M_{persp} = M_{ortho}M_{persp\to ortho}$$，变换至标准立方体

定义视锥 –透视投影

用两个参数描述视锥：

长宽比 aspect ratio、垂直可视角度 fovY

Canonical Cube to Screen (在屏幕上绘制)

确定屏幕位置

对像素位置定义：见图片右侧

Viewport transform 视口变换——对x、y进行变换

缩放+平移：将[-1,1]的立体缩放变换至[width,height]，再平移使左下角为原点

GAMES101 Transformation 变换